Осми разред: Решавање система методом супротних коефицијената – 19. 3. 2020.

1. Анализа домаћег задатка: домаћи су урадили само Софија и Лазар (Поповић?) из 8/4. Доле је дато решење Софије Марковић.

2x+y=13
3x-2y=2
---------------
y=13-2x
3x-2y=2
---------------
y=13-2x
3x-2×(13-2x)=2
--------------------------
y=13-2x
3x-26+4x=2
---------------------
y=13-2x
7x-26=2
----------------
y=13-2x
7x=2+26
----------------
y=13-2x
7x=28
----------------
y=13-2x
x=28/7
----------------
y=13-2x
x=4
----------------
y=13-2×4
x=4
----------------
y=5
x=4
Rešenje datog sistema je uredjeni par (x,y)=(4,5).

2. Ако нисте погледали сада погледајте лекцију преко РТС-а
https://rtsplaneta.rs/video/show/1350545/

3. Нека појашњења лекције: како се систем решава помоћу методе супротних коефицијената (још се зове и Гаусова метода).

Дефиниција 1: Ако уз x или y имамо супротне коефицијенте (бројеве), нпр. у првој је -5x а у другој једначини је +5x, онда систем можемо да решимо методом супротних коефицијената: једну једначину задржимо, а друга ће бити кад САБЕРЕМО ОБЕ ЈЕДНАЧИНЕ. Идеја је да „уништимо“ једну непознату (у овом нашем случају „уништавамо“ x.)

Пример1. (имали смо га већ)

РЕШИ СИСТЕМ МЕТОДОМ СУПРОТНИХ КОЕФИЦИЈАНАТА

2x + y = 0
x - y  = 3

Прву једначину ћу да задржим, а друга ће бити једнака збиру обе једначине: пошто имамо + y и – y онда ће у другој да „нестане“ y

2x + y = 0
2x + y + x - y  = 0+3

Обратите пажњу да сабирамо и леве и десне стране (значи и 0+3). Затим саберемо у другој посебно x и посебно y (тј. y “нестаје”)

2x + y = 0
3x  = 3 /:3

2x + y = 0
x  = 1

2*1 + y = 0
x  = 1

2 + y = 0
x  = 1

y = –2
x  = 1

Решење је уређени пар (1,–2)

Дефиниција 2: Ако уз x или y немамо супротне коефицијенте (бројеве), онда можемо да изаберемо једну непознату и да код ње сами "формирамо" супротне коефицијенте: у зависности од задатка, некад је довољно да једну једначину само помножимо, а некад морамо и једну и другу и то тако да ону непознату коју желимо да "уништимо" доведемо до НЗС-а за коефицијенте.

О овоме што се говори у Деф. 2 ћемо опширније у наредним часовима, али ево укратко.

Пример 2: Реши систем методом супротних коефицијената

2x + 2y = 4
x - y  = 0

Пошто у првој имам 2y а у другој -y онда је најједноставније да другу једначину помножим са 2, и онда ћу у првој имати 2y а у другој -2y и тако сам добио супротне коефицијенте. (Наравно, могао сам и другу да множим са -2 ако сам хтео да "уништим" x: очито је једноставније "уништити" y.)

2x + 2y = 4
x - y  = 0 /*2

2x + 2y = 4
2x - 2y  = 0

Сада прву задржавам а друга ће бити једнака збиру обе једначине: 

2x + 2y = 4
2x + 2y+2x - 2y  = 4+0

2x + 2y = 4
4x  = 4 /:4

2x + 2y = 4
x  = 1

2*1 + 2y = 4
x  = 1

2 + 2y = 4
x  = 1

2y = 4-2
x  = 1

2y = 2/:2
x  = 1

y = 1
x  = 1

Решење је (1,1)

ДОМАЋИ

1. Наставница је задала 199 из Збирке за завршни испит.

2. Реши систем методом супротних коефицијената

3x + 5y = 14
x - y =6

Упутство: "Уништите" y тако што ћете множити другу једначину, сами видите којим бројем.

________________________________________

Вежбање за пријемни:

1. Погледајте решени задатак на Јутјубу

https://www.youtube.com/watch?v=-eteGebWGdI